Αναλογιστικά Μαθηματικά

Σημειώσεις, επιμέλεια Δρ. Σωκράτης Σκλάβος, Καθηγητής & Διεύθυνση Σπουδών SYNELIXIS

Οι σημειώσεις αυτές περιγράφουν μια πολύ βασική δομή της θεωρίας κινδύνου. Απευθύνονται σε φοιτητές/φοιτήτριες και επαγγελματίες της αγοράς.

Μοντέλο Συλλογικού Κινδύνου

Θεωρούμε τμ Χ = ατομικός κίνδυνος, τμ Ν = πλήθος κινδύνων και τμ S = συνολικός κίνδυνος, τότε ο συνολικός κίνδυνος S περιγράφεται από το μοντέλο συλλογικού κινδύνου (ΜΣΚ).

Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι αν ο ατομικός κίνδυνος δύναται να λάβει την τιμή 0, τότε ο συνολικός κίνδυνος S μπορεί να γραφτεί απλούστερα ως

Για μεγάλα χαρτοφυλάκια (δηλαδή μεγάλο πλήθος κινδύνων), τότε και μόνο δύναται να προσεγγισθεί η συνολική ζημιά S με την κανονική κατανομή (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα).

όπου ο αναμενόμενος συνολικός κίνδυνος είναι Ε(S) και η διασπορά του V(S)

Συνέλιξης

Τι είναι η πράξη της συνέλιξης τμ. Είναι επί της ουσίας η πρόσθεση τμ. Η συνέλιξη αυτή χαρακτηρίζεται ως συνάρτηση τάξεως n και είναι η πιθανότητα το άθροισμα n- το πλήθος τμ να δίνει άθροισμα μια τιμή x.

H συνέλιξη διακριτών τμ Χ δίνεται από αναδρομικό τύπο και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις,

  • 1η Περίπτωση, Οι τμ Χ είναι ισόνομες
  • 2η Περίπτωση, οι τμ Χ έχουν διαφορετικές συναρτήσεις πιθανότητας

Αν τώρα συνδιάσουμε την πράξη της συνέλιξης με το ΜΣΚ, τότε

Σύνθετη Poisson

Αν ο ατομικός κίνδυνος είναι διακριτή τμ Χ με σ.π. f(x) = P(X=x) και το πλήθος κινδύνων Ν είναι Poisson κατανομή με παράμετρο έστω λ>0, τότε ο συνολικός κίνδυνος S είναι κατανομή σύνθετη poisson (Compound Poisson; CP). Ειδικότερα αν

τότε,

Τέλος, ας υποθέσουμε ότι ένα χαρτοφυλάκιο συνολικού κινδύνου S αποτελείται από κατηγορίες k-κινδύνων όπου κάθε κατηγορία είναι μια σύνθετη Poisson, τότε και ο συνολικός  κίνδυνος θα είναι σύνθετη Poisson.

Μια διακριτή κατανομή είναι οικογένειας κατανομών Panjer R(a,b,0) αν

H πιθανότητα συνολικής ζημιάς διακριτής τμ S να έχει μια τιμή x μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός είναι (για x>0, δίνεται από τον γενικό αναδρομικό τύπο):

Η χρήση ροπογεννήτριας M(t) (για συνεχείς τμ συνολικής ζημιάς) ή πιθανογεννήτριας P(t) συνάρτησης (για διακριτές τμ συνολικής ζημιάς) μας επιτρέπει να βρούμε αρκετές φορές απευθείας την κατανομή της συνολικής ζημιάς S:

Ας θεωρήσουμε την περίπτωση συνεχούς τμ συνολικής ζημιάς S με ροπογεννήτρια συνάρτηση Ms(t) ώς γραμμικό συνδυασμό (α0+ ... +αk =1) ροπογεννητριών Μ1(t), ...,Μk(t) κατανομών 1, ..., k με συνάρτηση κατανομής F1(t), ...,Fk(t) και σππ f1(t), ...,fk(t) αντίστοιχα, τότε

Αντασφάλιση Υπερβάλλοντος ποσού ζημιάς με όριο κράτησης u (excess-loss). Αν η τμ Χ είναι το ύψος ατομικής ζημιάς  και τμ Υ είναι η αποζημίωση που καταβάλλει ο ασφαλιστής, τότε Υ=min(Χ, u), δηλαδή Υ=Χ αν Χ<υ και Υ=u διαφορετικά.  H αναμενόμενη αποζημίωση που καταβάλει ο ασφαλιστής είναι :

Στην περίπτωση συνεχούς τμ Χ με κατανομή ουράς,